Trígonometrískur þríhyrningsleysir

Trigonometry—derived from the Greek words for "triangle" and "measure"—is the scientific study of the relationships between the side lengths and interior angles of triangles. While right-angled triangles can be solved using simple Pythagorean calculations ($a^2 + b^2 = c^2$) and direct trigonometric functions (Sine, Cosine, Tangent), general oblique triangles require a much deeper mathematical framework. Oblique triangles possess no right angles ($90^\circ$). To solve these geometries, mathematicians use two core theorems: the Law of Sines and the Law of Cosines.

---

📐 Kjarnalausnarsetningarnar: Sínus & Cosínur

Skáhærðir þríhyrningar eru flokkaðir sem annað hvort oddhvass (öll innri horn eru stranglega minni en $90^\circ$) eða stubbur (eitt innra horn er stranglega stærra en $90^\circ$). Til að leysa fyrir víddir þeirra sem vantar, beitum við setningum sem byggjast á uppsetningu upphafsbreytna okkar:

• Lögmál kósínusar: Stofnað sem alhæfing á Pýþagóras setningunni, meðhöndlar þær stillingar þar sem tvær hliðar og innifalið horn (SAS) eða allar þrjár hliðar (SSS) eru þekktar:
  c² = a² + b² - 2ab · cos(C)
  Þessi jafna gerir okkur kleift að brúa bilið milli aðliggjandi hliðarlína og leysa fyrir þriðju hliðina eða einangruð horn án þess að þurfa andstæðar breytast.
• Sínuslögmálið: Segir að hlutfall lengdar hliðar í þríhyrningi og sinus innra horn hans sé stöðugt yfir öll þrjú pörin:
  a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
  Þetta lögmál er mjög skilvirkt fyrir stillingar þar sem við höfum horn og andstæða hlið þess, eins og í ASA eða AAS skipulagi.

---

🔗 Mörkunartakmarkanir & Edge staðfestingar

Ekki getur hvert sett af handahófi inntak búið til gildan þríhyrning. Áður en hornafræðilegar lykkjur eru keyrðar þarf strangar staðfestingar á mörkum til að staðfesta réttan trúverðugleika:

Fyrir **SSS (Side-Side-Side)** skipulag verða aðföngin að uppfylltum skilyrðum Þríhyrningsójöfnunarsetning. Þessi setning segir að lengdarsumma allra tveggja hliða þríhyrnings verði að vera stranglega stærri en lengd þriðju hliðar:
a + b > c && a + c > b && b + c > a
Ef þú reynir að leysa þríhyrning með hliðum 3, 4 og 8 getur enginn efnislegur þríhyrningur verið til. Tvær styttri hliðarnar (3 og 4) geta aldrei spannað nógu langt til að mætast fyrir ofan langa grunnlínuna (8), sem veldur stærðfræðilegum óöguleika (villu í bogasviði við útreikning).

Fyrir hornmiðaða útlit (ASA, AAS) verður summan af tveimur innsláttum innri hornum að vera stranglega **minna en 180°**. Ef tvö horn leggjast saman í 180° eða meira, munu tvær andstæðar línur haldast samsíða eða víkja, aldrei skerast og mynda loka þriðja hornpunkt.

---

💻 Vertex kortlagning & SVG Cartesian plots

Að plotta uppleystan almennan þríhyrning á stafrænum skjá er fallegur skurðpunktur rúmfræði og hnitakerfa. Vegna þess að SVG útsýnisgluggar nota alger pixlahnit $(X, Y)$ miðað við efra vinstra hornið, verðum við að þýða óhlutbundna lengd okkar ($a, b, c$) og horn ($A, B, C$) í nákvæmum kartesískum punktum.

Til að ná þessu stillum við grunn þríhyrningsins eftir lárétta planinu. Með því að setja **Hindpunkt A** við staðbundinn uppruna $(0, 0)$ og **Hindpunkt B** meðfram jákvæðum x-ásnum við hnit $(c, 0)$, komum við á fasta grunnlínu. Með því að nota pólar-til-kartesískar trigonometric formúlur, leysum við fyrir **Vertex C**:
X_c = b · cos(A)
Y_c = b · sin(A)
Til að sýna þetta hreint, finnum við algera afmörkunarreitinn sem umlykur þessa punkta, kvarðum þá í réttu hlutfalli til að fara yfir skjáinn okkar og snúum við y-hnitunum (þar sem y-ás SVG stækkar niður á við). Þetta framleiðir fullkomlega, kraftmikla miðlæga endurgjöf á þríhyrningnum.